Ekspansi Binomial Adalah
Menambah Inovasi Produk dan Layanan
Mungkin bisnis kamu selama ini sudah mempunyai produk dan layanan andalan yang sudah memiliki konsumen dengan jumlah yang signifikan atau sudah banyak peminatnya.
Namun, tidak ada salahnya kalau kamu menambahkan produk dan layanan baru yang berbeda dari sebelumnya. Inovasi ini bisa jadi merupakan salah satu cara yang dapat kamu ditempuh untuk ekspansi bisnis. Perlu kamu ingat bahwa melakukan inovasi pun tidak bisa sembarangan, kamu harus melakukan analisis dari riset pasar secara menyeluruh terlebih dahulu untuk mengetahui setiap produk dan layanan apa yang sedang diminati oleh konsumen.
Selain itu, tetapkan harga penjualan yang tepat untuk produk yang baru, agar mengetahui besarnya biaya yang dikeluarkan dalam produksi barang ataupun jasa yang kamu lakukan.
Kombinatorika - Ekspansi Binomial
Matematika adalah alat yang hebat yang membantu kita mengungkap dunia yang kita tinggali. Dalam proyek ini, kita akan membahas konsep yang disebut "Jumlah Koefisien Binomial", yang mungkin terlihat kompleks pada awalnya, tetapi akan meresap dalam banyak aspek dari studi Matematika kita. Konsep ini didasarkan pada teorema Newton yang terkenal, yang merupakan ekspansi dari binomial (a+b)^n. Binomial Newton bukan hanya trik matematika, tetapi alat yang memungkinkan kita mengerti fenomena alam dan ilmiah.
Teorema binomial, atau binomial Newton, adalah rumus yang memberikan ekspansi pangkat dari binomial. Teorema ini memiliki aplikasi praktis dalam beragam bidang, termasuk Fisika dan Teknik. Oleh karena itu, memahami jumlah koefisien sangat penting untuk membedakan ekspansi dari binomial. Artinya jumlah koefisien dari binomial akan sama dengan (a+b)^n.
Aplikasi dari teori binomial dan jumlah koefisiennya sangat luas. Misalnya, di bidang Fisika, ekspansi binomial dapat digunakan untuk mendekati nilai dalam beberapa persamaan, sementara di bidang Statistik, ekspansi ini digunakan dalam distribusi binomial. Di Ilmu Komputer, ekspansi binomial dan jumlah koefisien diaplikasikan pada algoritma dan program.
Untuk membantu Anda mendalami topik ini, berikut beberapa sumber terpercaya:
Langkah-langkah Detail untuk Melakukan Aktivitas
Setelah menyelesaikan bagian praktis, setiap kelompok harus membuat laporan tertulis yang mencakup topik-topik berikut:
Siswa harus membuat kontekstualisasi dari topik "Jumlah Koefisien Binomial" dan relevansinya di dunia nyata. Selain itu, tujuan dari proyek ini harus dinyatakan dengan jelas.
Di bagian ini, siswa harus menjabarkan teori "Jumlah Koefisien Binomial". Mereka harus menjelaskan aktivitas yang dilakukan secara detail, menunjukkan metodologi yang digunakan dan terakhir, menyajikan dan mendiskusikan hasil yang didapat.
Siswa harus merefleksikan tentang pembelajaran utama yang didapat selama proyek dan aplikasi praktis dari teori yang dipelajari. Penting bagi siswa untuk tidak hanya menunjukkan penyelesaian masalah, tetapi juga bagaimana mereka bekerja sama untuk mencapai hasil.
Siswa harus mengutip semua sumber informasi yang digunakan untuk mempersiapkan proyek. Ini termasuk buku, situs web, video, dan lain-lain.
Laporan final harus diserahkan seminggu dari tanggal dimulainya proyek.
- Sebelumnya kita telah belajar materi "Kombinasi pada Peluang dan Contohnya" yang merupakan bagian dari
. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan
. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang
mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (
Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga
seperti berikut ini :
tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya:
$ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ..... \end{align} $
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan
, sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)
Berikut adalah rumus Binomial Newton secara umum : $(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau $ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $ dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli.
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=0}^n \, $ disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan.
Berikut beberapa contoh notasi sigma :
$ \displaystyle \sum_{r=0}^3 r^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^3 $
$ \displaystyle \sum_{i=2}^5 (2i+1) = (2.2+1) + (2.3+1) + (2.4+1) + (2.5+1) $
$ \displaystyle \sum_{k=1}^9 (k^3 + k) = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + (4^3 + 4) + ... + (9^3 + 9) $
Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :
Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel "
1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 $
a). $ (x+2)^4 \, $ artinya $ n = 4 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ (x+2)^4 & = \displaystyle \sum_{r=0}^4 C_r^4 x^{4-r}2^r \\ & = C_0^4 x^{4-0}2^0 + C_1^4 x^{4-1}2^1 + C_2^4 x^{4-2}2^2 + C_3^4 x^{4-3}2^3 + C_4^4 x^{4-4}2^4 \\ & = 1. x^{4}.1 + 4. x^{3}.2 + 6. x^{2}.4 + 4. x^{1}.8 + 1. x^{0}.16 \\ (x+2)^4 & = x^{4} + 8x^{3} + 24 x^{2} + 32x + 16 \end{align} $
b). $ (2a + 3b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (2a + 3b)^3 & = \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 (2a)^{3-r}(3b)^r \\ & = C_0^3 (2a)^{3-0}(3b)^0 + C_1^3 (2a)^{3-1}(3b)^1 + C_2^3 (2a)^{3-2}(3b)^2 + C_3^3 (2a)^{3-3}(3b)^3 \\ & = 1. (2a)^{3} .1 + 3. (2a)^{2}(3b) + 3. (2a)^{1}(3b)^2 + 1. (2a)^{0}(3b)^3 \\ & = 1. 2^3.a^3 .1 + 3. 2^2.a^2.(3b) + 3. (2a).3^2.b^2 + 1. 1.3^3.b^3 \\ (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
c). $ (a - 2b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (a-2b)^3 & = (a + (-2b))^3 \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 a^{3-r}(-2b)^r \\ & = C_0^3 a^{3-0}(-2b)^0 + C_1^3 a^{3-1}(-2b)^1 + C_2^3 a^{3-2}(-2b)^2 + C_3^3 a^{3-3}(-2b)^3 \\ & = 1. a^{3}.1 + 3. a^{2}(-2b) + 3. a^{1}(-2b)^2 + 1. a^{0}(-2b)^3 \\ & = a^{3} + 3. a^{2}(-2b) + 3. a.(-2)^2.b^2 + 1. 1.(-2)^3.b^3 \\ (a-2b)^3 & = a^{3} -6a^2b + 12ab^2 -8b^3 \end{align} $
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 \, $ artinya $ n = 5 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = \displaystyle \sum_{r=0}^5 C_r^5 x^{5-r} \left( \frac{2}{x} \right)^r \\ & = C_0^5 x^{5-0} \left( \frac{2}{x} \right)^0 + C_1^5 x^{5-1} \left( \frac{2}{x} \right)^1 + C_2^5 x^{5-2} \left( \frac{2}{x} \right)^2 \\ & + C_3^5 x^{5-3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 + C_4^5 x^{5-4} \left( \frac{2}{x} \right)^4 + C_5^5 x^{5-5} \left( \frac{2}{x} \right)^5 \\ & = 1. x^{5} .1 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{2^2}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{2^3}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{2^4}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{2^5}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{4}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{8}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{16}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x^{1} \\ & + 80 \left( \frac{1}{x} \right) + 80 \left( \frac{1}{x^3} \right) + \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x + \frac{80}{x} + \frac{80}{x^3} + \frac{32}{x^5} \end{align} $
Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
Dari rumus Binomial Newton berikut ini, $(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus : Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.
Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi :
$ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah :
Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8.
Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36.
Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54.
Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27.
Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh :
Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $.
artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.
2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x - 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya.
*). Bentuk binomialnya : $ (2x - 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $.
*). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $.
Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ .
Suku ke-2 yaitu dari $ (2x - 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $.
Sehingga suku ke-3 dari $ (2x - 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.
Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $
3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.
*). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k - 1 = 24 \rightarrow k = 25 $.
Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25.
*). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.
4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya.
*). Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $.
Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = - \frac{1}{x} = -x^{-1} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 - 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 - 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $.
Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001.
*). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.
Blog Koma – Sebelumnya kita telah belajar materi “Kombinasi pada Peluang dan Contohnya” yang merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Binomial. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton). Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial).
Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya: $ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ….. \end{align} $
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Enny Pudjiastuti dan Suad Husnan
Ekspansi adalah kegiatan perluasan suatu usaha perusahaan yang diterapkan dengan cara memperbanyak modal, menambah unit produksi, meningkatkan jumlah produksi, hingga proses akuisisi bersama perusahaan lain.
Ekspansi adalah bentuk upaya dari sebuah perusahaan dalam memperluas pasar dan batas produksi. Adapun hal tersebut dipengaruhi oleh terjadinya peningkatan permintaan konsumen atas produk maupun layanan jasa yang dimiliki perusahaan.
Dalam bisnis, definisi ekspansi adalah bentuk tindakan suatu perusahaan untuk meningkatkan modal usaha, baik modal kerja maupun modal tetap yang dimiliki oleh perusahaan terkait.
Seperti yang sudah dijelaskan tadi, dalam dunia bisnis definisi ekspansi adalah kegiatan yang dilakukan sebagai upaya perluasan jaringan bisnis, baik dalam proses produksi maupun distribusi untuk memperbanyak pendapatan perusahaan. Beberapa jenis ekspansi perusahaan yang kerap digunakan adalah:
Pengertian ekspansi bisnis secara umum adalah aktivitas dalam memperbesar dan memperluas jaringan usaha dari suatu perusahaan. Kegiatan ini dilakukan dengan tujuan untuk meningkatkan keuntungan perusahaan tersebut di masa depan.
Tujuan seseorang melakukan ekspansi bisnis antara lain adalah:
Jenis ekspansi berikutnya adalah ekspansi pasar. Ekspansi pasar adalah aktivitas suatu perusahaan untuk menjangkau target pasar baru. Umumnya, kegiatan ini dilakukan oleh perusahaan besar yang sudah sukses di wilayah nya saat ini, namun ingin memperluas wilayah bisnisnya.
Kriteria dari target pasar baru tersebut biasanya harus berada pada titik geografis yang berbeda dengan pasar yang sedang dijalankan saat ini. Misalnya, bisnis yang dijalankan saat ini adalah menjual produk herbal untuk kesehatan yang dipasarkan di skala nasional, nah, ekspansi pasar bisa dilakukan dengan cara ekspor barang maupun dan mulai menjualnya ke luar negeri.
Tidak hanya dalam pengembangan bisnis, ekspansi juga dapat dimanfaatkan dalam konteks lainnya. Misalnya, ekspansi kredit atau penambahan jumlah kredit yang dibebankan oleh seseorang.
Misalnya, kamu sedang memiliki kredit bank atas cicilan peralatan kafe yang digunakan untuk bisnis, namun di pertengahan waktu pembayaran, kamu juga ingin mengajukan kredit untuk membeli mobil sebagai sarana penunjang operasi kafe. Bank akan menambah kredit kamu, karena beban yang ditanggung pun bertambah.
Jenis ekspansi yang terakhir adalah ekspansi usaha. Pada jenis yang satu ini, yang dimaksud dengan ekspansi adalah perkembangan kegiatan ekonomi dalam pola konjungtur, yaitu proses terjadinya kenaikan maupun penurunan kemajuan usaha pada suatu perusahaan secara bergantian.
Umumnya, perkembangan tersebut dapat dilihat dari berbagai tanda, seperti adanya kenaikan harga, meningkatnya tingkat konsumsi, hingga peningkatan jumlah uang yang beredar di masyarakat.
Merancang dan Menetapkan Rencana dengan Matang
Strategi melakukan ekspansi yang pertama adalah dengan mematangkan rencana ekspansi tersebut. Agar tidak kehilangan kontrol atas usaha terdahulu, pastikan untuk merencanakan sematang mungkin sebelum melakukan ekspansi. Selain itu, rencana yang matang juga akan membantu kamu menentukan arah bisnis baru yang akan dijalankan.
Pengertian Ekspansi Menurut Para Ahli
Beberapa ahli ekonomi mempunyai pendapat masing-masing mengenai definisi ekspansi dalam bisnis. Berikut beberapa pengertian ekspansi menurut para ahli.
Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $
Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus : Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.
Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi : $ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $ Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah : Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8. Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36. Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54. Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27. Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh : Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ : $ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $. artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.
Contoh soal koefisien binomial : 2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x – 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya. Penyelesaian : *). Bentuk binomialnya : $ (2x – 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $. *). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $. Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ . Suku ke-2 yaitu dari $ (2x – 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ : $ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $. Sehingga suku ke-3 dari $ (2x – 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.
Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $
3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut. Penyelesaian : *). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $. *). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $. $ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $. Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k – 1 = 24 \rightarrow k = 25 $. Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25. *). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ $ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $. Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.
4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya. Penyelesaian : *). Bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $. *). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $. Bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = – \frac{1}{x} = -x^{-1} $. $ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 – 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $. Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 – 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $. Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001. *). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ $ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $. Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.
Kali ini kita akan membahas materi selanjutnya yaitu tentang Binomial Newton. Salah satu materi penting dalam Peluang yang akan kita bahas selanjutnya.
Binomial Newton adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial).
Dalam Binomial Newton menggunakan koefisien-koefisien
Untuk n = 2 diperoleh :
Untuk n = 3 diperoleh :
untuk mempermudah kita dalam menetukan koefisien binomial, maka dapat digunakan dengan konsep kombinasi yang dikenal dengan Binomial Newton atau Ekspansi Binomial.
Rumus Binomial Newton dinyatakan sebagai berikut:
dengan n dan k adalah bilangan asli.
Untuk mempermudah pemahaman kalian tentang Notasi Sigma dan Kombinasi , silahkan dibaca link berikut:
Menentukan Koefisien dan Suku Binomial Newton
Dalam menentukan koefisien dan suku Binomial Newton dapat diperoleh dengan cara:
Jika yang ditanya adalah suku ke-m dari hasil penjabaran di atas dapat ditentukan dengan rumus:
Ingat saja: Jika ditanya suku ke-m maka kurangi 1 jadi m-1
Jadi, koefisein suku ke 7 adalah 2.562.560
Dalam dunia bisnis, ekspansi adalah salah satu istilah yang sudah cukup familiar dan sering terdengar. Kata ekspansi sebenarnya digunakan pada banyak hal, mulai dari fisika sampai dengan politik. Namun, istilah ekspansi memang lebih dikenal dalam dunia ekonomi, khususnya bisnis.
Secara umum, arti ekspansi adalah suatu proses atau tindakan yang dilakukan agar sesuatu menjadi lebih besar atau lebih luas. Dalam penggunaannya di dunia bisnis, secara sederhana bisa didefinisikan bahwa ekspansi adalah perluasan atau pengembangan perusahaan. Biasanya, ekspansi perusahaan ini dilaksanakan ketika kondisi kegiatan usaha sudah stabil.
Baca juga: Memahami Pengertian Badan Usaha, Ciri-ciri, sampai Tujuannya
Secara etimologi, definisi ekspansi berasal dari kata yang diadaptasi dari bahasa latin ‘expandere’, yang kemudian diserap ke dalam bahasa Inggris, yaitu “expansion” (kata dasar “expand“) yang artinya menyebar.
Menurut kamus bahasa Cambridge Dictionary, arti kata ekspansi adalah suatu upaya untuk bertambah dalam segi ukuran, jumlah, maupun kepentingan. Dengan kata lain, definisi ekspansi merujuk pada suatu tindakan membuat suatu hal bertambah besar atau meningkat.
Bila mengutip dari Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), ada beberapa definisi ekspansi, tergantung pada bidang ilmu atau konteks yang dibahas, antara lain:
Sedangkan, menurut Otoritas Jasa Keuangan (OJK), ekspansi adalah tindakan memperluas dan memperbesar usaha dengan adanya suatu inovasi penciptaan pasar baru, perekrutan karyawan, hingga perluasan fasilitas.
Jadi, bisa disimpulkan bahwa definisi ekspansi dalam bisnis adalah suatu kegiatan yang dilakukan suatu perusahaan dengan tujuan memperbesar maupun memperluas target pasar.
Deskripsi Proyek Secara Detail
Proyek ini akan dilakukan oleh kelompok yang terdiri dari 3 hingga 5 siswa, di mana tiap kelompok akan diberi tugas untuk menyelesaikan sejumlah soal ekspansi binomial, menghitung jumlah koefisien untuk tiap soal, dan akhirnya mendiskusikan relevansi dan aplikasi dari konsep ini.
Semua kelompok akan menerima sejumlah soal ekspansi binomial dan harus bekerja sama untuk menyelesaikannya.
Materi yang Diperlukan
Lakukan Promosi Aktif
Dengan adanya ekspansi bisnis, produk yang dikeluarkan bisa sama baiknya atau malah mungkin semakin lebih baik dibandingkan dengan produk di bisnis sebelumnya.
Konsumen tidak akan tahu mengenai hal tersebut bila kamut tidak memberikan informasi yang tepat kepada mereka. Informasi ini bisa diberikan melalui strategi promosi yang aktif. Kamu bisa menjelaskan mengapa produk tersebut menjadi yang terbaik, bisa juga mengajak konsumen untuk mulai menggunakannya.
Melakukan promosi dapat dipercaya meningkatkan kepercayaan konsumen terhadap produk atau perusahaan kamu secara keseluruhan. Promosi secara aktif bisa kamu lakukan terus menerus agar konsumen dapat mengenal produk apa saja yang kamu pasarkan.
